Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B=90°，D為棱BB₁上一點(diǎn)，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（1）求證：D點(diǎn)為棱BB₁的中點(diǎn)；
（2）若二面角A-A₁D-C的平面角為60°，求直線A₁C與平面ABB₁A₁所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DE⊥A₁C于E點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)F，連BF，EF．先證明DE⊥面AA₁C₁C，再證明D，E，F(xiàn)，B共面，進(jìn)而有EF∥AA₁，又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，即可得到結(jié)論；
（2）過B作BH⊥A₁G于點(diǎn)H，由三垂線定理知，A₁G⊥CH，則可得∠CHB為二面角A-A₁D-C的平面角，利用二面角A-A₁D-C的平面角為60°，即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：過點(diǎn)D作DE⊥A₁C于E點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)F，連BF，EF

∵面DA₁C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁C，面DA₁C內(nèi)的直線DE⊥A₁C，
∴DE⊥面AA₁C₁C．
又∵面BAC⊥面AA₁C₁C且相交于AC，且△ABC為等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA₁C₁C．由此知：DE∥BF，從而有D，E，F(xiàn)，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，
故有DB∥EF，從而有EF∥AA₁，又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，
所以DB=EF=

1

2

AA₁=

1

2

BB₁，所以D點(diǎn)為棱BB₁的中點(diǎn)；
（2）解：延長A₁D與直線AB相交于G，則過B作BH⊥A₁G于點(diǎn)H，由三垂線定理知，A₁G⊥CH
∴∠CHB為二面角A-A₁D-C的平面角
設(shè)AA₁=2b，AB=BC=a，則在直角△A₁AG中，AB=BG；
在直角△DBG中，BH=

BD×BG

DG

=

ab

a2+b2

在直角△CHB中，tan∠CHB=

BC

BH

=

a

ab a2+b2

=

3

∴

b

a

=

2

2

，∴

A1A

AB

=

2b

a

=

2

∵平面ABC⊥平面AA₁B₁B，平面ABC∩平面AA₁B₁B=AB，CB⊥AB
∴CB⊥面AA₁B₁B
∴∠BA₁C是直線A₁C與平面ABB₁A₁所成的角
在直角△BA₁C中，tan∠BA₁C=

BC

A1B

=

a

3 a

=

3

3

∴∠BA₁C=

π

6

，即直線A₁C與平面ABB₁A₁所成的角為

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查面面角，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．