設函數(shù)f（x）=-x2+ax（x∈[0，2]）．
（1）當a=1時，求f（x）（x∈[0，2]）的最小值；
（2）記f（x）（x∈[0，2]）的最小值為m（a），求m（a）的最大值M（a）．
分析：（1）當a=1時，f（x）=-x2+x，再根據(jù)x∈[0，2]，由拋物線的幾何性質(zhì)可知f（x）的最小值．
（2）函數(shù)f（x）=-x2+ax 的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為x=
a
2
．再根據(jù)x∈[0，2]，利用拋物線幾何性質(zhì)，分當a≤0時、0＜a≤2時、當a＞2時三種情況，分別求得m（a）．再由m（a）的解析式求得m（a）的最大值M（a）．
解答：解：（1）∵a=1，∴f（x）=-x2+x，其圖形是開口向下的拋物線．
且與x軸的兩個交點的橫坐標分別是0，1．
又x∈[0，2]，由拋物線的幾何性質(zhì)可知：f（x）的最小值是f（2）=-2．
（2）∵函數(shù)f（x）=-x2+ax 的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為x=
a
2
．
且與x軸的兩個交點的橫坐標分別是0，a，a≠0．
若a=0，則與x軸只有一個交點，其橫坐標是0．
又∵x∈[0，2]，∴由拋物線幾何性質(zhì)可知：
①當a≤0時，m（a）=f（2）=-4+2a；
②當0＜a≤2時，m（a）=f（2）=-4+2a；
③當a＞2時，m（a）=f（0）=0，
綜合①②③可知 m（a）=
-4+2a ，a≤2
0 ，a＞2
．
當a≤2時，函數(shù)m（a）=-4+2a是單調(diào)遞增函數(shù)，其最大值是M（a）=m（2）=0，
當a＞2時，又函數(shù)m（a）=0，
∴m（a）=
-4+2a ，a≤2
0 ，a＞2
 的最大值M（a）=0．
點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數(shù)列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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