Question

3．設(shè)f（x）和g（x）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，x₁，x₂是任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)．
（1）設(shè)|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，且f（x）是奇函數(shù)，試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）設(shè)|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，且f（x）是R上的增函數(shù)，試判斷函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，設(shè)x₂=-x₁，|f（x₁）+f（-x₁）|≥|g（x₁）+g（-x₁）|恒成立，根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，即可得出結(jié)論；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，
∴x₂=-x₁，|f（x₁）+f（-x₁）|≥|g（x₁）+g（-x₁）|恒成立，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴|f（x₁）-f（x₁）|≥|g（x₁）+g（-x₁）|恒成立，
∴g（x₁）+g（-x₁）=0，
∴g（-x₁）=-g（x₁），
∴g（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＜x₂，
∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∵|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
∴f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁），
∴h（x₁）-h（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）+f（x₂）-f（x₁），
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，
∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義是關(guān)鍵．