Question

（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓：的離心率是，其左、右頂點(diǎn)分別為，，為短軸的端點(diǎn)，△的面積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）為橢圓的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)，與直線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓與直線(xiàn)相切于點(diǎn)．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）證明：見(jiàn)解析。

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，
（1）運(yùn)用橢圓的性質(zhì)得到橢圓的參數(shù)a,b,c的關(guān)系式，從而得到橢圓的方程。
（2）設(shè)出直線(xiàn)方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，然后結(jié)合韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積公式得到結(jié)論。
（Ⅰ）解：由已知        解得，．   …4分
故所求橢圓方程為．             …………5分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，．設(shè)，則． 于是直線(xiàn)方程為 ，令，得；所以，同理．  所以，.所以
   ．
所以 ，點(diǎn)在以為直徑的圓上．      …………10分
設(shè)的中點(diǎn)為，則．         …………11分
又，
所以
．
所以 ． 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223735972439.png" style="vertical-align:middle;" />是以為直徑的圓的半徑，為圓心，，
故以為直徑的圓與直線(xiàn)相切于右焦點(diǎn)．   …………14分