Question

如圖樹頂A離地面am，樹上另一點(diǎn)B離地面bm．在離地面cm的C處看此樹，離此樹多遠(yuǎn)時看A、B的視角最大？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：計(jì)算題,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：過點(diǎn)C作CD⊥AB，設(shè)CD=x，根據(jù)已知中樹頂A距地面a米，樹上另一點(diǎn)B距地面b米，人眼C離地面c米．我們易求出tan∠ACB，即tan（∠ACD-∠BCD）的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求出tan∠ACB的范圍及tan∠ACB取最大值時x的值，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，則AD=a-c，BD=b-c，設(shè)CD=x．
由圖可知：tan∠ACB=tan（∠ACD-∠BCD）=

tan∠ACD-tan∠BCD

1+tan∠ACD•tan∠BCD

=

a-c x - b-c x

1+ a-c x • b-c x

=

a-b

x+ (a-c)(b-c) x

≤

a-b

2 (a-c)(b-c)

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

(a-c)(b-c)

x

，
即有x=

(a-c)(b-c)

時，等號成立即有取得最大值．
則離此樹

(a-c)(b-c)

m時，看A、B的視角最大．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，兩角差的正切公式，及基本不等式，其中構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜�角形，將問題轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)問題是解答本題的關(guān)鍵．