Question

若不等式

x(x2+8)(8-x)

＜λ(x+1)對于一切實數x∈（0，2）都成立，則實數λ的取值范圍是

[4，+∞）

．

Answer 1

分析：先設f（x）=x（x²+8）（8-x），y₁=f（x） 

1

2

，y₂=λ（x+1）．利用導數工具得出x∈（0，2）時，f（x）單調增，
原不等式對于一切實數x∈（0，2）都成立轉化為：y₁＜f（x） 

1

2

=12．即對x∈（0，2），y₁＜y₂都成立，從而得出實數λ的取值范圍．

解答：解：設f（x）=x（x²+8）（8-x），y₁=f（x） 

1

2

，y₂=λ（x+1）．
x∈（0，2）時，f'（x）=24x²-4x³+64-16x＞0．
說明x∈（0，2）時，f（x）單調增，
原不等式對于一切實數x∈（0，2）都成立轉化為：y₁＜f（x） 

1

2

=12．
即當x=2時，由 λ（2+1）≥12
得 λ≥4．
∴對x∈（0，2），y₁＜y₂都成立，有 λ≥4．
故答案為：[4，+∞）．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、導數在單調性問題中的應用、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于難題．