【答案】
分析:(Ⅰ)要證AE⊥平面BCE,只需證明AE垂直平面BCE內(nèi)的兩條相交直線BF、BC即可;
(Ⅱ)連接AC、BD交于G,連接FG,說明∠FGB為二面角B-AC-E的平面角,然后求二面角B-AC-E的大;
(Ⅲ)利用V
D-ACE=V
E-ACD,求點D到平面ACE的距離,也可以利用空間直角坐標(biāo)系,向量的數(shù)量積,證明垂直,求出向量的模.
解答:解:(I)∵BF⊥平面ACE,
∴BF⊥AE,
∵二面角D-AB-E為直二面角,
∴平面ABCD⊥平面ABE,又BC⊥AB,∴BC⊥平面ABE,∴BC⊥AE,
又BF?平面BCE,BF∩BC=B,∴AE⊥平面BCE.

(II)連接AC、BD交于G,連接FG,
∵ABCD為正方形,∴BD⊥AC,
∵BF⊥平面ACE,
∴FG⊥AC,∠FGB為二面角B-AC-E的平面角,由(I)可知,AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB,
又AE=EB,AB=2,AE=BE=

,
在直角三角形BCE中,CE=

=

,BF=

=

=

在正方形中,BG=

,在直角三角形BFG中,sin∠FGB=

=

=

∴二面角B-AC-E為arcsin

.
(III)由(II)可知,在正方形ABCD中,BG=DG,D到平面ACB的距離等于B到平面ACE的距離,BF⊥平面ACE,線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離,即為D到平面ACE的距離所以D到平面的距離為

=

.
另法:過點E作EO⊥AB交AB于點O.OE=1.
∵二面角D-AB-E為直二面角,∴EO⊥平面ABCD.
設(shè)D到平面ACE的距離為h,
∵V
D-ACE=V
E-ACD,∴

•h=

•EO.
∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=

=

=

∴點D到平面ACE的距離為

.

解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以線段AB的中點為原點O,OE所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,
過O點平行于AD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖.
∵AE⊥面BCE,BE?面BCE,∴AE⊥BE,
在Rt△AEB中,AB=2,O為AB的中點,
∴OE=1.∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),

=(1,1,0),

=(0,2,2)
設(shè)平面AEC的一個法向量為

=(x,y,z),
則

,即

,
解得

,
令x=1,得

=(1,-1,1)是平面AEC的一個法向量.
又平面BAC的一個法向量為

=(1,0,0),
∴cos(

,

)=

=

=

.
∴二面角B-AC-E的大小為arccos

(III)∵AD∥z軸,AD=2,∴

=(0,0,2),
∴點D到平面ACE的距離d=|

|•|cos<

,

>=

=

=

.
點評:本題考查直線與平面垂直的判定,二面角的求法,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.