Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大��；
（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證AE⊥平面BCE，只需證明AE垂直平面BCE內(nèi)的兩條相交直線BF、BC即可；
（Ⅱ）連接AC、BD交于G，連接FG，說明∠FGB為二面角B-AC-E的平面角，然后求二面角B-AC-E的大��；
（Ⅲ）利用V_D-ACE=V_E-ACD，求點D到平面ACE的距離，也可以利用空間直角坐標(biāo)系，向量的數(shù)量積，證明垂直，求出向量的模．
解答：解：（I）∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵二面角D-AB-E為直二面角，
∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，
又BF?平面BCE，BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．

（II）連接AC、BD交于G，連接FG，
∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
∵BF⊥平面ACE，
∴FG⊥AC，∠FGB為二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，
又AE=EB，AB=2，AE=BE=，
在直角三角形BCE中，CE==，BF===
在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，sin∠FGB===
∴二面角B-AC-E為arcsin．

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距離等于B到平面ACE的距離，BF⊥平面ACE，線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離，即為D到平面ACE的距離所以D到平面的距離為=．
另法：過點E作EO⊥AB交AB于點O．OE=1．
∵二面角D-AB-E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD．
設(shè)D到平面ACE的距離為h，
∵V_D-ACE=V_E-ACD，∴•h=•EO．
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC．∴h===
∴點D到平面ACE的距離為．

解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，
過O點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖．
∵AE⊥面BCE，BE?面BCE，∴AE⊥BE，
在Rt△AEB中，AB=2，O為AB的中點，
∴OE=1．∴A（0，-1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），=（1，1，0），=（0，2，2）
設(shè)平面AEC的一個法向量為=（x，y，z），
則，即，
解得，
令x=1，得=（1，-1，1）是平面AEC的一個法向量．
又平面BAC的一個法向量為=（1，0，0），
∴cos（，）===．
∴二面角B-AC-E的大小為arccos
（III）∵AD∥z軸，AD=2，∴=（0，0，2），
∴點D到平面ACE的距離d=||•|cos＜，＞===．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．