Question

如圖，在四面體ABCO中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1．
（1）設(shè)P是AC的中點(diǎn)，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ⊥OA；
（2）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）過O點(diǎn)在平面AOB內(nèi)作OE⊥OA，分別以O(shè)A、OE、OC為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Q（x，y，0），由

AB

=3

AQ

可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，通過計(jì)算可證明

OA

•

PQ

=0，由此可得結(jié)論；
（2）轉(zhuǎn)化為求兩平面的法向量夾角即可，易知面OAC的法向量為

n1

=(0，1，0)，設(shè)面ABC的法向量為

n2

=(x1，y1，z1)，由

n2

•

AC

=0，

n2

•

AB

=0，可得

n2

，利用向量夾角公式可得二面角的余弦值，注意二面角為銳二面角；

解答：（1）證明：過O點(diǎn)在平面AOB內(nèi)作OE⊥OA，分別以O(shè)A、OE、OC為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則O（0，0，0），C（0，0，1），A（1，0，0），P(

1

2

，0，

1

2

)，B(-

1

2

，

3

2

，0)，
設(shè)Q（x，y，0），由

AB

=3

AQ

，得（-

3

2

，

3

2

，0）=3（x-1，y，0），
∴x=

1

2

，y=

3

6

，∴Q(

1

2

，

3

6

，0)，
由

OA

=(1，0，0)，

PQ

=(0，

3

6

，-

1

2

)⇒

OA

•

PQ

=0，
∴OA⊥PQ．
（2）依題意有：面OAC的法向量為

n1

=(0，1，0)，

AC

=(-1，0，1)，

AB

=(-

3

2

，

3

2

，0)，
設(shè)面ABC的法向量為

n2

=(x1，y1，z1)，
由

AC

•

n2

=0⇒-x 1+z1=0⇒z1=x1，

AB

•

n2

=0⇒-

3

2

x 1+

3

2

y1=0⇒y1=

3

x1，
∴

n2

=(x1，

3

x1，x1)=x1(1，

3

，1)，
∴cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

5

=

15

5

，
∵二面角O-AC-B的平面角是銳角，
∴二面角O-AC-B的平面角的余弦值為

15

5

．

點(diǎn)評：本題考查利用空間向量判斷直線垂直、求解二面角的大小，考查空間想象能力、推理論證能力，屬中檔題．