Question

將4個(gè)半徑都是的球體完全裝入底面半徑是的圓柱形桶中，則桶的最小高度是      ．

 

Answer 1

【答案】

【解析】本題考查了，空間位置關(guān)系與距離，做題時(shí)要弄請(qǐng)存在的等量關(guān)系

由題意知，小球要分兩層放置且每層兩個(gè)，令下層兩小球的球心分別是A、B，上層兩小球的球心分別是C、D．此時(shí)，圓柱底面的半徑=兩小球半徑的和，恰好使小球相外切，且與圓柱母線相切．圓柱的高=上層小球的上方半徑+AB與CD間的距離+下層小球的下方半徑=2R+AB與CD間的距離．令A(yù)B、CD的中點(diǎn)分別為E、F．很明顯，四面體ABCD每條棱的長(zhǎng)都是2R，容易求出：EC=ED、FA=FB，由EC=ED、CF=DF，得：EF⊥CD．由FA=FB、AE=BE，得：EF⊥AB．∴EF是AB與CD間的距離，∴圓柱的高=2R+EF．由勾股定理，有：CE²+AE²=AC²，CE²=EF²+CF²．兩式相減，消去CE，得：AE²=AC²-EF²-CF²，∴EF²=AC²-AE²-CF²=（2R）²-R²-R²=2R²，∴EF=R．∴圓柱的高=2r+R=（2+）R．故答案為（2+）R．

解決該試題的關(guān)鍵弄清桶的取最小高度時(shí)，四個(gè)球如何放置．由題意知，小球要分兩層放置且每層兩個(gè)，則四個(gè)球心構(gòu)成正四面體，并可求出相對(duì)棱的距離．很明顯，圓柱的高=上層小球的上方半徑R+相對(duì)棱間的距離+下層小球的下方半徑R．