Question

邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，形成三棱錐C-ABD，它的主視圖與俯視圖如圖所示，則異面直線AB與CD所成角為

60°

．

Answer 1

分析：設(shè)折疊前C點的位置為C'，AC、BD的交點為O．因為AB∥C'D，所以∠CDC'（或其補角）就是異面直線AB與CD的所成角．再根據(jù)三視圖，證出CO⊥平面ABD，在Rt△OCC'中求出CC'=1進而得到△DCC'是等邊三角形，由此即得∠CDC'=60°，可得面直線AB與CD所成角．

解答：解：設(shè)折疊前C點的位置為C'，AC、BD的交點為O，則
∵根據(jù)三視圖，可得平面BCD⊥平面ABD，平面BCD∩平面ABD=BD且CO⊥BD
∴CO⊥平面ABD
∵OC'?平面ABD，∴CO⊥OC'
∵CO=C'O=

2

2

，∴CC'=

OC2+C′O2

=1
∵DC'=DC=1，∴△DCC'是邊長為1的等邊三角形，可得∠CDC'=60°
∵正方形ABC'D中，AB∥C'D，
∴∠CDC'就是異面直線AB與CD的所成角，
因此，異面直線AB與CD的所成角為60°
故答案為：60°

點評：本題以平面圖形的翻折為例，在給出三棱錐的三視圖的情況下求異面直線所成角．著重考查了面面垂直的性質(zhì)、三視圖的認(rèn)識和異面直線所成角的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．