【題目】已知為自然對數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)討論的單調(diào)性;

(Ⅱ)若有兩個零點,的取值范圍;

2在(1)的條件下,求證:

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)(1);(2) 見解析.

【解析】試題分析:I求出函數(shù)的導數(shù),通過討論的范圍,分別令求得 的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得 的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;II)(1由(Ⅰ)知,當時, 在R上為增函數(shù), 不合題意;當時, 的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為只需,即可解得的取值范圍;(2分離參數(shù),問題轉(zhuǎn)化為證明證明,不妨設(shè),,則,因此只要證明: ,即根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

試題解析:(Ⅰ) 的定義域為R, ,(1)當時, 在R上恒成立,∴在R上為增函數(shù); (2)當時,令,令,∴的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為;

(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知,當時, 在R上為增函數(shù), 不合題意;

時, 的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,

,當時, ,∴有兩個零點,則,解得

(2)由(Ⅱ)(1),當時, 有兩個零點,且上遞增, 在上遞減,依題意, ,不妨設(shè)

要證,即證

,所以,

上遞減,即證,

,即證,( ).

構(gòu)造函數(shù)

,∴單調(diào)遞增,

,從而,

,( ),命題成立.

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