Question

由函數y=f（x）確定數列{a_n}，a_n=f（n），若函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）能確定數列{b_n}，b_n=f^-1（n），則稱數列{b_n}是數列{a_n}的“反數列”．
（1）若函數確定數列{a_n}的反數列為{b_n}，求{b_n}的通項公式；
（2）對（1）中{b_n}，不等式對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）設，若數列{c_n}的反數列為{d_n}，{c_n}與{d_n}的公共項組成的數列為{t_n}，求數列{t_n}前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）（n為正整數），
所以數列{a_n}的反數列為{b_n}的通項（n為正整數）（2分）
（2）對于（1）中{b_n}，不等式化為..（3分）
，，
∴數列{T_n}單調遞增，（5分）
所以（T_n）_min=T₁=1，要是不等式恒成立，只要．（6分）
∵1-2a＞0，∴，又
所以，使不等式對于任意正整數n恒成立的a的取值范圍是..（8分）
（3）設公共項t_k=c_p=d_n，k、p、q為正整數，
當λ為奇數時，（9分）
，則{c_n}?{b_n}（表示{c_n}是{b_n}的子數列），t_n=2n-1
所以{t_n}的前n項和S_n=n²..（11分）
當λ為偶數時，c_n=3ⁿ，d_n=log₃n（12分）
3q=log₃q，則，同樣有{c_n}?{b_n}，t_n=3ⁿ
所以{t_n}的前n項和（14分）
分析：（1），，由此能求出數列{a_n}的反數列為{b_n}的通項公式．（2）把不等式化為，，，數列{T_n}單調遞增，所以（T_n）_min=T₁=1，要使不等式恒成立，只要，由此能求出使不等式對于任意正整數n恒成立的a的取值范圍．
（3）設公共項t_k=c_p=d_n，k、p、q為正整數，當λ為奇數時，t_n=2n-1，{t_n}的前n項和S_n=n²．當λ為偶數時，t_n=3ⁿ，{t_n}的前n項和．
點評：本題考查數列通項公式的求法、實數的取值范圍和前n項和的求法，解題時要注意導數的合理運用和分類討論思想的靈活運用．