Question

17．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點A作斜率為-1的直線l，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C．若$2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$，則雙曲線的離心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分別表示出直線l和兩個漸近線的交點，進而表示出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$，進而根據(jù)$2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$，求得a和b的關(guān)系，進而根據(jù)c²-a²=b²，求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．

解答 解：過右頂點A（a，0）作斜率為-1的直線，
可得直線l：y=-x+a與漸近線l₁：bx-ay=0交于B（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），
l與漸近線l₂：bx+ay=0交于C（$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，-$\frac{ab}{a-b}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{ab}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-^{2}}$），
∵$2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$，
∴$\frac{-ab}{a+b}$=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}-^{2}}$，化為b=2a，
∴c²-a²=4a²，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=5，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)：離心率和漸近線方程，考查聯(lián)立直線方程求交點，以及向量的坐標運算，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．