Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ (a<0)．

(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若函數(shù)F(x)＝f(x)＋1沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)極小值為f(2)＝－，無極大值．(2) (－e2,0)．

【解析】試題分析：（1）將參數(shù)值代入得到表達(dá)式，根據(jù)極值的定義得到函數(shù)f(x)的極小值為f(2)＝－；（2）研究函數(shù)的F(x)＝f(x)＋1單調(diào)性，畫出函數(shù)的大概變化趨勢(shì)，使得函數(shù)和x軸沒有交點(diǎn)即可。

解析：

(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝，f′(x)＝.

由f′(x)＝0，得x＝2.

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	極小值	?

所以，函數(shù)f(x)的極小值為f(2)＝－，函數(shù)f(x)無極大值．

(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.

當(dāng)a<0時(shí)，F(xiàn)′(x)，F(xiàn)(x)隨x的變化情況如下表：

x	(－∞，2)	2	(2，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	?	極小值	?

若使函數(shù)F(x)沒有零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)F(2)＝＋1>0，

解得a>－e2，所以此時(shí)－e2<a<0.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－e2,0)．