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已知,點B是軸上的動點,過B作AB的垂線軸于點Q,若,.

(1)求點P的軌跡方程;

(2)是否存在定直線,以PM為直徑的圓與直線的相交弦長為定值,若存在,求出定直線方程;若不存在,請說明理由。

 

【答案】

(1) y2=x;(2) 存在定直線x=

【解析】

試題分析:(1)設B(0,t),Q(m,0),P(x,y),由射影定理并整理可得m=-4t,然后再利用已知條件和向量相等的坐標表示的充要條件列出關于x,y的方程即可得到點P的軌跡方程.(2)假設存在.根據已知幾何條件和勾股定理列出相交弦的表達式,再尋找a存在的條件即可.

試題解析:(1)設B(0,t),設Q(m,0),t2=|m|,m0, m=-4t2

 Q(-4t2,0),設P(x,y),則=(x-,y),=(-4t2-,0),

2=(-,2 t), +=2

(x-,y)+ (-4t2-,0)= (-,2 t),

 x=4t2,y=2 t, y2=x,此即點P的軌跡方程;       6分。

(2)由(1),點P的軌跡方程是y2=x;設P(y2,y),M (4,0) ,則以PM為直徑的圓的圓心即PM的中點T(,), 以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長:

L=2

 =2=2      10分

若a為常數,則對于任意實數y,L為定值的條件是a-=0, 即a=時,L=

 存在定直線x=,以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長為定值。

 (2)存在定直線x=,以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長為定值

考點:1.射影定理;2.向量相等的坐標表示的充要條件;3.勾股定理.

 

練習冊系列答案
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