Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-mx．
（Ⅰ）若f（x）為（0，+∞）上的單調函數，試確定實數m的取值范圍；
（Ⅱ）求函數f（x）在定義域上的極值；
（Ⅲ）設an=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+(n+1)

(n∈N*)，求證：a_n＞ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得f′(x)=

1

x+1

-m所以x＞0時，0＜

1

x+1

＜1，所以m≤0時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，m≥1時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
（Ⅱ）因為函數的定義域是（-1，+∞）所以當m≤0時f′(x)=

1

x+1

-m＞0所以此時f（x）沒有極值；
當m＞0時，由f'（x）＞0得-1＜x＜

1

m

-1，由f'（x）＜0得x＞

1

m

-1，故當x=

1

m

-1時，f（x）有極大值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減，所以f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），設x=

1

k+1

得 ln(1+

1

k+1

)＜

1

k+1

．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+1

-m
∵x＞0時，0＜

1

x+1

＜1
∴m≤0時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增
∴m≥1時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減
∴m的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）單調函數；
（Ⅱ）①當m≤0時，f'（x）＞0，f（x）為定義域上的增函數，
∴f（x）沒有極值；
②當m＞0時，由f'（x）＞0得-1＜x＜

1

m

-1；
由f'（x）＜0得x＞

1

m

-1∴f(x)在(-1，

1

m

-1)上單調遞增，(

1

m

-1，+∞)上單調遞減．
故當x=

1

m

-1時，f（x）有極大值f(

1

m

-1)=m-1-lnm，但無極小值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令x=

1

k+1

，得ln(1+

1

k+1

)＜

1

k+1

所以

1

n+1

+

1

n+2

++

1

n+(n+1)

＞ln

n+2

n+1

+ln

n+3

n+2

++ln

2n+2

2n+1

=ln

2n+2

n+1

=ln2．
所以a_n＞ln2．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值與函數的單調性，在研究函數的性質時要注意函數的定義域．并且利用函數的單調性證明不等式，這是高考考查的重點也是學生學習的難點．