Question

等差數(shù)列{a_n}中，已知d＞0且a₂•a₃=15，a₁+a₄=8．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）bn=

1

an•an+1

數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，求證：Sn＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出首項(xiàng)羽公差，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法求和，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：∵{a_n}是等差數(shù)列，∴a₁+a₄=a₂+a₃=8（1分）
又∵a₂•a₃=15且d＞0，
∴a₂=3，a₃=5（4分）
∴d=2，a₁=a₂-d=1（5分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1（n∈N₊）（6分）
（2）證明：b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）（9分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）（11分）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)羽求和，考查裂項(xiàng)法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．