Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°，SA=AB，SB=BC．
（Ⅰ）證明：平面SBC⊥平面SAB；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得SA⊥AB，SA⊥AC，從而SA⊥底面ABC，進而SA⊥BC．又AB⊥BC，從而BC⊥平面SAB，由此能證明平面SBC⊥平面SAB．
（Ⅱ）作AD⊥SB，垂足為D，作AE⊥SC，垂足為E，連結(jié)DE，由已知得∠AED為二面角A-SC-B的平面角，由此能求出二面角A-SC-B的平面角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）平面SBC⊥平面SAB．理由如下：
因為∠SAB=∠SAC=90°，
所以SA⊥AB，SA⊥AC，
所以SA⊥底面ABC．…（2分）
又BC在平面ABC內(nèi)，所以SA⊥BC．
又AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB．…（4分）
因為BC在平面SBC內(nèi)，所以平面SBC⊥平面SAB．…（6分）
（Ⅱ）作AD⊥SB，垂足為D．
由（Ⅰ）知平面SBC⊥平面SAB，
則有AD⊥平面SBC．…（8分）
作AE⊥SC，垂足為E，連結(jié)DE，
則∠AED為二面角A-SC-B的平面角．…（10分）
設(shè)SA=AB=2，則SB=BC=2

2

，AD=

2

，
AC=2

3

，SC=4，由題意得AE=

3

．
Rt△ADE中，sin∠AED=

AD

AE

=

2

3

=

6

3

，
所以二面角A-SC-B的平面角的正弦值為

6

3

．…（13分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．