Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若Sn+an=

n2+3n+5

2

，問(wèn)是否存在f（n），使得對(duì)于一切n∈N^*，都有a_n=n-f（n）成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：用n+1代替n，得到一個(gè)新的式子，再用兩式相減，得2a_n+1-a_n=n+2．然后假設(shè)存在f（n），使得對(duì)于一切n∈N^*，都有a_n=n-f（n）成立，再利用n+1代替n，得出2（n+1）-2f（n+1）-n+f（n）=n+2，整理得出{f（n）}成等比數(shù)列，再根據(jù)它的首項(xiàng)和公比得出{f（n）}的通項(xiàng)公式，得出正確結(jié)論．

解答：解：∵Sn+an=

n2+3n+5

2

①
∴Sn+1+an+1=

(n+1)2+3(n+1)+5

2

②
②-①得2a_n+1-a_n=n+2．③
若存在f（n）滿足：a_n=n-f（n）成立，則有2（n+1）-2f（n+1）-n+f（n）=n+2，整理得f(n+1)=

1

2

f(n)．
又由①式，得a1=

9

4

，∴f(1)=-

5

4

．
∴{f（n）}構(gòu)成首項(xiàng)為-

5

4

，公比為

1

2

的等比數(shù)列； f(n)=-

5

4

(

1

2

)n-1．
因而存在f(n)=-

5

2n+1

滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．