Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1

3

（a_n-1），（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；       
（2）求證{a_n}數(shù)列是等比數(shù)列并求通項公式．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的前n項和,等比關系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已條件，分別令n=1，2，利用遞推思想能求出a₁，a₂的值．
（2）由已知得an=

1

3

an-

1

3

an-1，由此能證明數(shù)列{a_n}是首項為-

1

2

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，從而能求出通項公式a_n．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1

3

（a_n-1），（n∈N^*），
∴a1=S1=

1

3

(a1-1)，
解得a₁=-

1

2

，
S₂=-

1

2

+a2=

1

3

（a₂-1），
解得a₂=

1

4

．
（2）證明：∵S_n=

1

3

（a_n-1），（n∈N^*），①
∴當n≥2時，S_n-1=

1

3

（a_n-1-1），②
①-②，得an=

1

3

an-

1

3

an-1，
整理，得a_n=-

1

2

an-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為-

1

2

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n=（-

1

2

）ⁿ．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，解題時要注意公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的合理運用．