Question

已知函數(shù)（）．
（Ⅰ）當(dāng)曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線l：y=-2x+1平行時(shí)，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線l：y=-2x+1平行時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)于參數(shù)a的方程求出其值即可．
（Ⅱ）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中存在參數(shù)a，它的取值范圍對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有影響，故要對(duì)其進(jìn)行分類討論，在確定的范圍下求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：，x＞-1，（2分）
（I）由題意可得，解得a=3，（3分）
因?yàn)閒（1）=ln2-4，此時(shí)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（ln2-4）=-2（x-1），
即y=-2x+ln2-2，與直線l：y=-2x+1平行，故所求a的值為3．（4分）
（II）令f'（x）=0，得到，
由可知，即x₁≤0．（5分）
①即時(shí)，
所以，，（6分）
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞）．（7分）
②當(dāng)時(shí)，（6分），即-1＜x₁＜0=x₂，
所以，在區(qū)間和（0，+∞）上，f′（x）＜0；（8分）
在區(qū)間上，f′（x）＞0．（9分）
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是和（0，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是．（10分）
③當(dāng)a≥1時(shí)，，
所以，在區(qū)間（-1，0）上f'（x）＞0；（11分）
在區(qū)間（0，+∞）上f'（x）＜0，（12分）
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．（13分）
綜上討論可得：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，+∞）；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是和（0，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是；
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，求解本題的重點(diǎn)是理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及分類討論的思想方法，分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)中用途廣泛，其特點(diǎn)是在解題中出現(xiàn)了不確定情況，由分類變不確定為確定．本題運(yùn)算量較大，思維量也大，易因?yàn)轳R虎或者耐心不夠而出錯(cuò)，造成解題失敗，做題時(shí)要養(yǎng)成好習(xí)慣，要嚴(yán)謹(jǐn)，認(rèn)真．