Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx+a（a為實常數(shù)）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)定義域，導數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）列出當x在[

1

2

，2]上變化時，f′（x），f（x）的變化情況表，則其唯一的極小值即為最小值，求出端點處函數(shù)值f（

1

2

），f（2），通過作差比較可得最大值；

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=2x-

2

x

，
令f′（x）＞0，有

x2-1＞0 x＞0

，解之得x＞1，
令f′（x）＜0，有

x2-1＜0 x＞0

，得0＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）當x在[

1

2

，2]上變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

由表知，函數(shù)f（x）_min=1-a，
又f(

1

2

)=(

1

2

)2-2ln

1

2

+a=

1

4

+2ln2+a，f（2）=2²-2ln2+a=4-2ln2+a，
f(

1

2

)-f(2)=(

1

4

+2ln2+a)-(4-2ln2+a)=4ln2-

15

4

＜0，
所以f（x）_max=4-2ln2+a．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，屬中檔題．