Question

某企業(yè)的產(chǎn)品以往專銷歐美市場(chǎng)，在全球金融風(fēng)暴的影響下，歐美市場(chǎng)的銷量受到嚴(yán)重影響，該企業(yè)在政府的大力扶助下積極開拓國(guó)內(nèi)市場(chǎng)，并基本形成了市場(chǎng)規(guī)模；自2009年9月以來(lái)的第n個(gè)月（2009年9月為第一個(gè)月）產(chǎn)品的內(nèi)銷量、出口量和銷售總量（銷售總量=內(nèi)銷量與出口量的和）分別為b_n、c_n和a_n(單位：萬(wàn)件)，依據(jù)銷售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下營(yíng)銷趨勢(shì)：b_{n + 1} = a. a_n，c_{n + 1} = a_n + b .a_n² （其中a、b為常數(shù)），已知a₁ = 1萬(wàn)件，a₂ = 1.5萬(wàn)件，a₃ = 1.875萬(wàn)件．

    （1）求a，b的值，并寫出a_{n + 1}與a_n滿足的關(guān)系式；

    （2）試用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)論證銷售總量a_n逐月遞增且控制在2萬(wàn)件內(nèi)；

    （3）試求從2009年9月份以來(lái)的第n個(gè)月的銷售總量a_n關(guān)于n的表達(dá)式．

Answer 1

【解析】（1）依題意：a_{n + 1} = b_{n + 1} + c_{n + 1} = a a_n + a_n + b a_n²，

則a₂ = a a₁ + a₁ + b a₁²    ∴a + 1 + b =            ①

則a₃ = a a₂ + a₂ + b a₂²   ∴            ②

解①②得a = 1，b = –  從而a_{n + 1} = 2a_n –a_n² (n∈N*)    

（2）證法（Ⅰ）由于a_{n + 1} = 2a_n –a_n² = – (a_n – 2)² + 2≤2．         

但a_{n + 1}≠2，否則可推得a ₁= a ₂= 2與a ₁= 1，a₂ = 1.5矛盾．故a_{n + 1}＜2  于是a_n＜2

又a_{n + 1}– a_n= –a_n² + 2a_n – a_n = –a_n (a_n – 2) ＞0，

所以a_{n + 1}＞a_n 從而a_n＜a_{n + 1}＜2            

證法（Ⅱ）由數(shù)學(xué)歸納法

（i）當(dāng)n = 1時(shí)，a₁ = 1，a₂ = 1.5，顯然a₁＜a₂＜2成立

（ii）假設(shè)n = k時(shí)，  a_k＜a_{k + 1}＜2成立．

由于函數(shù)f (x) = –x² + 2x = –(x – 2)² + 2在[0，2]上為增函數(shù)，

則f (a_k) ＜f (a_{k + 1}) ＜f (2)即a_k (4 – a_k) ＜a_{k + 1}(4 –a_{k + 1}) ＜×2×(4 – 2)

 即 a_{k + 1}＜a_{k + 2}＜2成立． 綜上可得n∈N*有a_n＜a_{n + 1}＜2  

（3）由a_{n + 1} = 2a_n –a_n²得2 (a_{n + 1}– 2) = – (a_n – 2)²  即(2 – a_{n + 1}) = (2 – a_n)2

又由（2）a_n＜a_{n + 1}＜2可知2 – a_{n + 1}＞0，2 – a_n＞0  

則lg (2 – a_{n + 1}) = 2 lg (2 – a_n) – lg 2   ∴l(xiāng)g (2 – a_{n +1}) – lg2 = 2[lg (2 – a_n) – lg2]

即{lg (2 – a_{n + 1}) – lg2}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為lg (2 – a₁) – lg 2 = –lg 2

故lg (2 – a_n) – lg 2 = (–lg 2)·2^{n – 1} ∴a_n = 2 – 2.  (n∈N*)為所求