【題目】如圖,四棱錐中,側(cè)棱垂直于底面,的中點(diǎn),平行于平行于面.

(1)求的長;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)取的中點(diǎn),連接,由三角形中位線定理,以及線面平行的判定定理可得平行于,平行于,于是可得為平行四邊形,所以,;(2)取中點(diǎn),則垂直于,以點(diǎn)為原點(diǎn),軸,軸,軸建立坐標(biāo)系,平面法向量為,利用向量垂直數(shù)量積為零,列方程組求得

平面法向量為,平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析:(1)取的中點(diǎn),連接、,

因?yàn)?/span>平行于平行于,所以平行于,

所以四點(diǎn)共面,

因?yàn)?/span>平行于面,面與面交與,所以平行于,

所以為平行四邊形.

所以.

(2取中點(diǎn),則垂直于,因?yàn)?/span>平行于,所以垂直于,于是以點(diǎn)為原點(diǎn),軸,軸,軸建立坐標(biāo)系,

垂直于垂直于,平面法向量為

通過計(jì)算得平面的法向量為.經(jīng)判斷知二面角為鈍角,于是其余弦為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判斷與性質(zhì)、利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】據(jù)中國日?qǐng)?bào)網(wǎng)報(bào)道:2017年11月13日,TOP500發(fā)布的最新一期全球超級(jí)計(jì)算機(jī)500強(qiáng)榜單顯示,中國超算在前五名中占據(jù)兩席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了國產(chǎn)品牌處理器。為了了解國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度,某調(diào)查公司對(duì)兩種國產(chǎn)品牌處理器進(jìn)行了12次測(cè)試,結(jié)果如下(數(shù)值越小,速度越快,單位是MIPS

測(cè)試1

測(cè)試2

測(cè)試3

測(cè)試4

測(cè)試5

測(cè)試6

測(cè)試7

測(cè)試8

測(cè)試9

測(cè)試10

測(cè)試11

測(cè)試12

品牌A

3

6

9

10

4

1

12

17

4

6

6

14

品牌B

2

8

5

4

2

5

8

15

5

12

10

21

設(shè)分別表示第次測(cè)試中品牌A和品牌B的測(cè)試結(jié)果,記

)求數(shù)據(jù)的眾數(shù);

)從滿足的測(cè)試中隨機(jī)抽取兩次,求品牌A的測(cè)試結(jié)果恰好有一次大于品牌B的測(cè)試結(jié)果的概率;

(Ⅲ)經(jīng)過了解,前6次測(cè)試是打開含有文字和表格的文件,后6次測(cè)試是打開含有文字和圖片的文件.請(qǐng)你依據(jù)表中數(shù)據(jù),運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),對(duì)這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進(jìn)行評(píng)價(jià).

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【題目】拋物線,,為拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上兩點(diǎn),線段的中垂線交軸于,,

(Ⅰ)證明:的等差中項(xiàng);

(Ⅱ)若,為平行于軸的直線,其被以AD為直徑的圓所截得的弦長為定值,求直線的方程

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【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):

(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;

(2)已知該廠技改前,100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?

,參考數(shù)值:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直三棱柱中,,是棱上的動(dòng)點(diǎn),的中點(diǎn).

(1)當(dāng)中點(diǎn)時(shí),求證:平面;

(2)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面與平面所成銳二面角為,若存在,求的長,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,矩形中,平面,上的點(diǎn),且平面.

(1)求證:平面

(2)求平面與平面所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在邊長為4的菱形,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),,沿翻折到,連接得到如圖所示的五棱錐,.

(1)求證:平面平面;

(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2018安徽江南十校高三3月聯(lián)考線段為圓 的一條直徑,其端點(diǎn), 在拋物線 上,且, 兩點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離之和為

I)求直徑所在的直線方程;

II)過點(diǎn)的直線交拋物線, 兩點(diǎn),拋物線, 處的切線相交于點(diǎn),求面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐中,底面是直角梯形,,,側(cè)面底面,是以為底的等腰三角形.

(Ⅰ)證明:

(Ⅱ)若四棱錐的體積等于.問:是否存在過點(diǎn)的平面分別交,于點(diǎn),使得平面平面?若存在,求出的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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