Question

如圖所示，質(zhì)點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進．現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻．每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1．兩個2．兩個3一共六個數(shù)字．質(zhì)點P從A點出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點P前進一步（如由A到B）；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點P前進兩步（如由A到C），當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點P前進三步（如由A到D）．在質(zhì)點P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．
（1）求點P恰好返回到A點的概率；
（2）在點P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點的所有結(jié)果中，用隨機變量S表示點P恰能返回到A點的投擲次數(shù)，求S的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（Ⅰ）投擲一次正方體玩具，上底面每個數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，其概率為P1=

2

6

=

1

3

因為只投擲一次不可能返回到A點；
若投擲兩次點P就恰能返回到A點，
則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應(yīng)依次為：
（1，3）．（3，1）．（2，2）三種結(jié)果，
其概率為P2=(

1

3

)2?3=

1

3

若投擲三次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應(yīng)依次為：
（1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三種結(jié)果，其概率為P3=(

1

3

)3?3=

1

9

若投擲四次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，1，1，1）
其概率為P4=(

1

3

)4=

1

81

所以，點P恰好返回到A點的概率為P=P₂+P₃+P₄=

1

3

+

1

9

+

1

81

=

37

81

（Ⅱ）在點P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點的所有結(jié)果共有以上問題中的7種，
因為，P（ξ=2）=

3

7

，P（ξ=3）=

3

7

，P（ξ=4）=

1

7

所以，Eξ=2?

3

7

+3?

3

7

+4?

1

7

=

19

7