若函數(shù)f(x)同時具有以下兩個性質(zhì):①f(x)是偶函數(shù);②對任意實數(shù)x,都有f(
π
4
+x)=f(
π
4
-x)
,則f(x)的解析式可以是( 。
分析:考查各個選項中的函數(shù)是否是偶函數(shù),且圖象關(guān)于x=
π
4
對稱,同時滿足這兩個條件的函數(shù)即為所求.
解答:解:由題意可得函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且圖象關(guān)于x=
π
4
對稱.
由于f(x)=cos2x的圖象的對稱軸為2x=kπ,k∈z,即 x=
2
,k∈z,故不滿足條件.
由于f(x)=cos(2x+
π
2
)
=-sin2x,不是偶函數(shù),故不滿足條件.
由于f(x)=xos6x的對稱軸為 6x=kπ,k∈z,即 x=
6
,k∈z,故不滿足條件.
由于f(x)=sin(4x+
π
2
)=-cos4x,是偶函數(shù),且對稱軸為4x=kπ,k∈z,即 x=
π
4
,k∈z,故滿足條件.
故選D.
點評:本題考查三角函數(shù)的奇偶性和對稱性,以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)同時具有以下兩個性質(zhì):①f(x)是偶函數(shù);②對任意實數(shù)x,都有f(-x+
π
4
)=f(x+
π
4
),則下列函數(shù)中,符合上述條件的有
 
.(填序號)
①f(x)=cos4x;
②f(x)=sin(2x+
π
2
);
③f(x)=sin(4x+
π
2
);
④f(x)=cos(
2
-
4x).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若函數(shù)f(x)同時具有以下兩個性質(zhì):①f(x)是偶函數(shù);②對任意實數(shù)x,都有f(
π
4
+x)=f(
π
4
-x)
,則f(x)的解析式可以是( 。
A.f(x)=cos2xB.f(x)=cos(2x+
π
2
)
C.f(x)=cos6xD.f(x)=sin(4x+
π
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006年江蘇省南通中學(xué)高三數(shù)學(xué)調(diào)研試卷(解析版) 題型:選擇題

若函數(shù)f(x)同時具有以下兩個性質(zhì):①f(x)是偶函數(shù);②對任意實數(shù)x,都有,則f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=cos2
B.
C.f(x)=cos6
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年11月上海市大同中學(xué)高三數(shù)學(xué)練習(xí)試卷(三角專項)(解析版) 題型:選擇題

若函數(shù)f(x)同時具有以下兩個性質(zhì):①f(x)是偶函數(shù);②對任意實數(shù)x,都有,則f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=cos2
B.
C.f(x)=cos6
D.

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