Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m，其定義域為[0，

π

2

]，最大值為6．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m，利用降冪公式，及輔助角公式，我們可將函數(shù)f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)在區(qū)間[0，

π

2

]，最大值為6，構(gòu)造關(guān)于m的方程，解方程求出常數(shù)m的值；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，我們可以得到函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性，我們易分析出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）由f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m
=

3

sin2x+2cos2x+m+1
=2sin（2x+

π

6

）+m+1
由x∈[0，

π

2

]，知：

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
于是可知f（x）≤3+m
∴3+m=6得m=3．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4及

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
而y=sinx在[-

π

2

，

π

2

]上單調(diào)遞增
令

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

解得0≤x≤

π

6

于是f（x）在定義域[0，

π

2

]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

6

]．…（12分）

點評：本題考查的知識點是降冪公式，輔助角公式，三角函數(shù)的最值，正弦型函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知條件，構(gòu)造m的方程，求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．本題（2）中易忽略函數(shù)的定義域，得到錯解．