Question

圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ．
（1）把圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）求經(jīng)過(guò)圓O₁，圓O₂交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數(shù)的差角公式展開曲線C的極坐標(biāo)方程的左式，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．
（2）先在直角坐標(biāo)系中算出經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系求出其極坐標(biāo)方程即可．

解答：解：以有點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，
建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．
（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ．
所以x²+y²=4x．
即x²+y²-4x=0為圓O₁的直角坐標(biāo)方程．…．（3分）
同理x²+y²+4y=0為圓O₂的直角坐標(biāo)方程．…．（6分）
（2）由

x2+y2-4x=0 x2+y2+4y=0

解得

x1=0 y1=0

x2=2 y2=-2

．
即圓O₁，圓O₂交于點(diǎn)（0，0）和（2，-2）．
過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．