Question

給出下列說法：
①命題“若α=

π

6

，則sin α=

1

2

”的否命題是假命題；
②命題p：“?x₀∈R，使sin x?＞1”，則?p：“?x∈R，sin x≤1”；
③“φ=

π

2

+2kπ（k∈Z）”是“函數y=sin（2x+φ）為偶函數”的充要條件；
④命題p：“?x∈（0，

π

2

），使sin x+cos x=

1

2

”，命題q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，則A＞B”，那么命題￢p∧q為真命題．
其中正確結論的個數是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：①先求出否命題，然后去判斷．②利用特稱命題和全稱命題否定之間的關系判斷．③利用充分必要條件的關系判斷．④利用復合命題的與簡單命題之間的關系進行判斷．

解答：解：①原命題的否命題為“若α≠

π

6

，則sin α≠

1

2

”，當α=

5π

6

時，滿足α≠

π

6

，但sin α=

1

2

，所以原命題的否命題是假命題，所以①的判斷正確．
②特稱命題的否定是全稱命題，所以?p：“?x∈R，sin x≤1，所以②正確．
③若函數y=sin（2x+φ）為偶函數，則φ=

π

2

+kπ（k∈Z），所以φ=

π

2

+2kπ（k∈Z）不是“函數y=sin（2x+φ）為偶函數”的充要條件，所以③錯誤．
④因為sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，當x∈（0，

π

2

）時，

π

4

＜x+

π

4

＜

π

2

，此時1＜

2

sin?(x+

π

4

)＜

2

，所以命題p為假命題．
在△ABC中，若sin A＞sin B，由正弦定理得a＞b，根據大邊對大角關系可得，A＞B，所以命題q為真，所以￢p為真，所以命題￢p∧q為真命題，所以④正確．
故選B．

點評：在④中，y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)是我們求三角函數值域時，最常用的公式，本題中對x的范圍有限制，故要結合自變量的取值范圍，進行判斷，命題q要用到正弦定理和三角形中的邊角關系．