Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n項和，當(dāng)．
（1）求證是等差數(shù)列；
（2）若T_n=S₁•S₂+S₂•S₃+…+S_n•S_n+1，求T_n；
（3）在條件（2）下，試求滿足不等式的正整數(shù)m．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=可得，2S_n-2S_n-1+S_nS_n-1=0即，為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）可得，，則，利用裂項求和可求
（3）由（1）可得，=，利用裂項求和可求，而
結(jié)合m∈N^*可求m
解答：證明：（1）=
整理可得，2S_n-2S_n-1+S_nS_n-1=0
兩邊同時除以S_nS_n-1可得，，
是以1為首項，為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）可得，


=
（3）由（1）可得，=
=

原不等式可化為，即（m+1）（2m+1）≤55
∵m∈N^*∴m=1，2，3，4
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造特殊的數(shù)列，定義證明等差數(shù)列的應(yīng)用．裂項求解數(shù)列的和及數(shù)列與不等式的綜合內(nèi)容的考查．