Question

設(shè)a為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為.

 （1）設(shè)，求t的取值范圍，并把表示為t的函數(shù)；

 （2）求；

 （3）試求:滿足的所有實數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

1），。

   （2）=．

（3）滿足的所有實數(shù)a為：或．

【解析】本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力

（I）先求定義域，再求值域．由轉(zhuǎn)化．

（II）求g（a）即即為函數(shù)，的最大值．嚴(yán)格按照二次函數(shù)求最值的方法進(jìn)行．

（III）要求滿足的所有實數(shù)a，則必須應(yīng)用g（a）的解析式，它是分段函數(shù)，必須分情況選擇解析式進(jìn)行求解．

解：1）∵，∴要使有意義，必須且，即

∵，且……①   

∴的取值范圍是。

由①得：，

∴，。

   （2）由題意知即為函數(shù)，的最大值，

∵直線是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論：

1）當(dāng)時，函數(shù)，的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由知在上單調(diào)遞增，故；

2）當(dāng)時，，，有=2；

3）當(dāng)時，，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若即時，，

若即時，，

若即時，．

綜上所述，有=．

（3）當(dāng)時，；

當(dāng)時，，，∴，

，故當(dāng)時，；

當(dāng)時，，由知：，故；

當(dāng)時，，故或，從而有或，

要使，必須有，，即，

此時，。

綜上所述，滿足的所有實數(shù)a為：或．