Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，點E是PD的中點．

(1)求證：AC⊥PB．

(2)求證：PB∥平面AEC．

(3)求二面角E－AC－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC． 　　又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB． 　　(2)如圖，連BD交AC于點O，連EO，則EO是△PDB的中位線，∴EO∥PB． 　　∴PB∥平面AEC． 　　(3)如圖，取AD的中點F，連EF，F(xiàn)O，則EF是△PAD的中位線，∴EF∥PA． 　　又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD． 　　同理FO是△ADC的中位線，∴FO∥AB， 　　∴FO⊥AC(由三垂線定理可知)， 　　∴∠EOF是二面角E－AC－D的平面角． 　　又FO＝AB＝PA＝EF，∴∠EOF＝45°． 　　而二面角E－AC－B與二面角E－AC－D互補，故所求二面角E－AC－B的大小為135°．

提示：

本題考查線線位置的判斷，線面位置的判斷以及二面角的知識．