Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）過(guò)點(diǎn)A（-e^-2，0）作函數(shù)y=f（x）圖象的切線，求切線方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1
∴f′（x）＜0得lnx＜-1 （2分）
∴0＜x＜

1

e

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

1

e

)； （4分）
（Ⅱ）∵f（x）≥-x²+ax-6即a≤lnx+x+

6

x

設(shè)g(x)=lnx+x+

6

x

，
則g′(x)=

x2+x-6

x2

=

(x+3)(x-2)

x2

 （7分）
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
∴g（x）最小值g（2）=5+ln2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，5+ln2]； （10分）
（Ⅲ）設(shè)切點(diǎn)T（x₀，y₀）則k_AT=f′（x₀），
∴

x0lnx0

x0+ 1 e2

=lnx0+1即e²x₀+lnx₀+1=0
設(shè)h（x）=e²x+lnx+1，當(dāng)x＞0時(shí)h′（x）＞0，
∴h（x）是單調(diào)遞增函數(shù) （13分）
∴h（x）=0最多只有一個(gè)根，
又h(

1

e2

)=e2×

1

e2

+ln

1

e2

+1=0，
∴x0=

1

e2

由f'（x₀）=-1得切線方程是x+y+

1

e2

=0． （16分）