Question

下列四個命題中正確的有

 

①函數(shù)y=x-

3

2

的定義域是{x|x≠0}；
②lg

x-2

=lg（x-2）的解集為{3}；
②3^1-x-2=0的解集為{x|x=1-log₃2}；
④lg（x-1）＜1的解集是{x|x＜11}．

Answer 1

分析：①函數(shù)y=x-

3

2

可化為：y=

1

x3

，根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根得到x的范圍，即可判斷此命題正確與否；
②根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到

x-2

=x-2，兩邊平方得到一個一元二次方程，求出方程的解，又x-2大于等于0，經(jīng)判斷得到滿足題意的解，即可作出判斷；
③根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可得到方程的解，即可作出判斷；
④根據(jù)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)10大于1，得到此對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，然后把“1”變?yōu)閘g10，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的增減性得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集，同時考慮對數(shù)函數(shù)的定義域得x-1大于0，求出解集，求出兩解集的交集即可得到原不等式的解集，即可作出判斷．

解答：解：①函數(shù)y=x-

3

2

中x的范圍為：x＞0，所以定義域?yàn)閧x|x＞0}，此選項(xiàng)錯誤；
②由lg

x-2

=lg(x-2)，得到

x-2

=x-2，
兩邊平方得：x-2=x²-4x+4，
即x²-5x+6=0，即（x-2）（x-3）=0，
解得x=2或x=3，經(jīng)過檢驗(yàn)x=2不合題意，舍去，所以x=3，此選項(xiàng)正確；
③3^1-x-2=0可變?yōu)椋?-x=log₃²，解得x=1-log₃²，此選項(xiàng)正確；
④lg（x-1）＜1可變?yōu)椋簂g（x-1）＜lg10，
由底數(shù)10＞1，得到對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，
所以得到：0＜x-1＜10，解得：1＜x＜10，此選項(xiàng)錯誤，
所以四個命題正確有：②③．
故答案為：②③

點(diǎn)評：此題考查了冪函數(shù)的定義域，對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性，以及考查了對數(shù)函數(shù)的定義，是一道綜合題．