Question

在數(shù)1和2之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記為A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N．
（1）求數(shù)列{A_n}的前n項和S_n；
（2）求T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列n+2個數(shù)分別為b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2．利用倒序相乘的方法，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)算出，再由等比數(shù)列定義證出{A_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此不難算出數(shù)列{A_n}的前n項和S_n；
（2）由（1）的結(jié)論，算出，從而得到tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2），根據(jù)兩角差的正切公式結(jié)合配角的方法，證出等式（n∈N^*），由此作為通項代入T_n的表達式，化簡合并后即可得到（n∈N^*）．
解答：解：（1）根據(jù)題意，n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，
設(shè)為b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2，
可得A_n=b₁•b₂•…•b_n+1•b_n+2，…①；A_n=b_n+2•b_n+1•…•b₂•b₁，…②
由等比數(shù)列的性質(zhì)，得b₁•b_n+2=b₂•b_n+1=b₃•b_n=…=b_n+2•b₁=2，
∴①×②，得=2ⁿ⁺²．
∵A_n＞0，∴．
因此，可得（常數(shù)），
∴數(shù)列{A_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{A_n}的前n項和S_n==．
（2）由（1）得，
∵，
∴．
從而tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）=
∴



即T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2．
點評：本小題主要考查等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的前n項和等基礎(chǔ)知識，考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，屬于中檔題．