Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=2x+1上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足，求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列{b_n}，求證：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，可得a_n+1+1=2（a_n+1），從而可得{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）確定=+，即可求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（3）由（2）可知，（n≥2），b₂=a₂，證明…＜即可．
解答：（1）解：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴a_n=2ⁿ-1；
（2）解：
∴=+
∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0
n=1時(shí)，b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3；
（3）證明：由（2）可知，（n≥2），b₂=a₂
∴…=…
=••…=2=2（+…+）
∵k≥2時(shí)，
∴+…+=+…+＜1+2[（）+…+（）]=1+2（）＜
∴…＜
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明．考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查裂項(xiàng)求和法，綜合性強(qiáng)．