Question

已知曲線C：f（x）=x²，C上的點(diǎn)A，A_n的橫坐標(biāo)分別為1和a_n（n∈N^*），且a₁=5，數(shù)列{x_n}滿足，設(shè)區(qū)間D_n=[1，a_n]（a_n＞1），當(dāng)x∈D_n時(shí)，曲線C上存在點(diǎn)P_n（x_n，f（x_n）），使得點(diǎn)P_n處的切線與直線AA_n平行．
（1）證明：{log_t（x_n-1）+1}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)D_n+1?D_n對(duì)一切n∈N^*恒成立時(shí)，求t的取值范圍；
（3）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)時(shí)，試比較S_n與n+7的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由線在點(diǎn)P_n的切線與直線AA_n平行，知，由x_n+1=tf（x_n+1-1）+1，得x_n+1-1=t（x_n-1）²，由此能夠證明{log_t（x_n-1）+1}是等比數(shù)列．
（2）由log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）•2^n-1，得．從而，由D_n+1?D_n對(duì)一切n∈N^*恒成立，得a_n+1＜a_n，由此能求出t的取值范圍．
（3）當(dāng)時(shí)，，所以，由此能夠比較比較S_n與n+7的大小．
解答：解：（1）∵由線在點(diǎn)P_n的切線與直線AA_n平行，
∴，即，
由x_n+1=tf（x_n+1-1）+1，得x_n+1-1=t（x_n-1）²，
∴l(xiāng)og_t（x_n+1-1）=1+2log_t（x_n-1），
即log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]，
∴{log_t（x_n-1）+1}是首項(xiàng)為log_t2+1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）得log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）•2^n-1，
∴．
從而，
由D_n+1?D_n對(duì)一切n∈N^*恒成立，
得a_n+1＜a_n，
即，
∴0＜2t＜1，
即．
（3）當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)n≤3時(shí)，2^n-1≤n+1；
當(dāng)n≥4時(shí)，2^n-1＞n+1，
∴當(dāng)n≤3時(shí)，＜n+7．
當(dāng)n≥4時(shí)，S_n＜
=
＜n+7．
綜上所述，對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n＜n+7．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．