以O為原點，數(shù)學公式所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系．若數(shù)學公式，點A的坐標為（t，0），t∈（0，+∞），點G的坐標為（m，3）．
（1）若以O為中心，A為頂點的雙曲線經(jīng)過點G，求當數(shù)學公式取最小值時雙曲線C的方程；
（2）過點N（0，1）能否作出直線l，使l與雙曲線C交于S，T兩點，且OS⊥OT？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

解：（1），，t∈（0，+∞）
即t=1時，取最小值，此時G（2，3），設雙曲線C的方程為，
則，∴取最小值時雙曲線C的方程為．
（2）若存在滿足條件的直線l：y=kx+1（k≠0），設S（x1，y1），T（x2，y2），OS⊥OT?x1x2+y1y2=0（*）
即x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
由由△＞0?k2＜4
又代入（*）得：
∴，即不存在滿足條件的直線l．
分析：（1）根據(jù)建立等式，求出m，然后根據(jù)基本不等式求出m的最小值，從而求出點G的坐標，代入雙曲線方程求出b的值即可；
（2）若存在滿足條件的直線l：y=kx+1（k≠0），設S（x1，y1），T（x2，y2），OS⊥OT?x1x2+y1y2=0，然后將直線與雙曲線聯(lián)立方程組進行求解即可．
點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及利用基本不等式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：高中數(shù)學綜合題 題型：044

以O為原點，所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系．設，點F的坐標為，點G的坐標為．

(1)求關于t的函數(shù)的表達式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的判斷．

(2)設的面積，若以O為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓經(jīng)過點G，求當取得最小值時橢圓的方程．

(3)在(2)的條件下，若點P的坐標為是橢圓上的兩點，且，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以O為原點，所在直線為軸，建立如 所示的坐標系。設，點F的坐標為，，點G的坐標為。

（1）求關于的函數(shù)的表達式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的判斷；

（2）設ΔOFG的面積，若以O為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓經(jīng)過點G，求當取最小值時橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，若點P的坐標為，C、D是橢圓上的兩點，且，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以O為原點，所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系.設·=1，點F的坐標為(t，0)，t∈［3，+∞)，點G的坐標為(x0，y0).

(1)求x0關于t的函數(shù)x0=f(x)的表達式，判斷函數(shù)f(t)的單調(diào)性，并證明你的判斷；

(2)設△OFG的面積S=t，若以O為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓經(jīng)過點G，求當||取得最小值時橢圓的方程；

(3)在(2)的條件下，若點P的坐標為(0，92)，C、D是橢圓上的兩點，且=λ(λ≠1)，求實數(shù)λ的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年甘肅省白銀市會寧五中高二（上）期末數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

以O為原點，所在直線為x軸，建立直角坐標系．設，點F的坐標為（t，0），t∈[3，+∞）．點G的坐標為（x，y）．
（1）求x關于t的函數(shù)x=f（t）的表達式，并判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）設△OFG的面積，若O以為中心，F(xiàn)，為焦點的橢圓經(jīng)過點G，求當取最小值時橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，若點P的坐標為，C，D是橢圓上的兩點，，求實數(shù)λ的取值范圍．

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