如圖,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).

(1)證明:MN∥平面A′ACC′;

(2)求三棱錐A′-MNC的體積.

(錐體體積公式V=Sh,其中S為底面面積,h為高)

 

【答案】

(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】解:(1)(證法一)連結(jié)AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,

AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱,

所以M為AB′中點(diǎn),

又因?yàn)镹為B′C′的中點(diǎn),所以MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′,

AC′⊂平面A′ACC′,

因此MN∥平面A′ACC′.

(證法二)取A′B′中點(diǎn)P,連結(jié)MP,NP,

M、N分別為AB′與B′C′的中點(diǎn),

所以MP∥AA′,PN∥A′C′,

所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,

又MP∩NP=P,

因此平面MPN∥平面A′ACC′,而MN⊂平面MPN.

因此MN∥平面A′ACC′.

(2)(解法一)連結(jié)BN,

由題意A′N(xiāo)⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,

所以A′N(xiāo)⊥平面NBC.

又A′N(xiāo)=B′C′=1,故VA′-MNC=VN-A′MCVN-A′BCVA′-NBC.

(解法二)

VA′-MNC=VA′-NBC-VM-NBCVA′-NBC.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=
2
,側(cè)棱AA1=1,側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)D,B1C1的中點(diǎn)為M,求證:CD⊥平面BDM.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D為A1C1的中點(diǎn),E為B1C的中點(diǎn).
(1)求直線BE與A1C所成的角;
(2)在線段AA1中上是否存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
AF
|;若不存在,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分別為AC,B1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求線段MN的長(zhǎng);
(Ⅱ)求證:MN∥平面ABB1A1
(Ⅲ)線段CC1上是否存在點(diǎn)Q,使A1B⊥平面MNQ?說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,D棱B1B的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:A1C1∥平面ACD;
(Ⅱ)求異面直線AC與A1D所成角的大小;
(Ⅲ)證明:直線A1D⊥平面ADC.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案