Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在X軸上，F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，△MF₁F₂的面積為4，過F1的直線l與橢圓交于A，B兩點，△ABF₂的周長為8

2

．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）若N是左標平面內一動點，G是△MF₁F₂的重心，且

GF2

•

ON

=0，求動點N的軌跡方程；
（Ⅲ）點p審此橢圓上一點，但非短軸端點，并且過P可作（Ⅱ）中所求得軌跡的兩條不同的切線，Q、R是兩個切點，求

PQ

•

PR

的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設出橢圓方程，由橢圓的定義可得a，再由面積公式，結合a，b，c的關系，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設N（x，y），由重心坐標公式，結合向量的數量積坐標公式，即可得到軌跡方程；
（Ⅲ）判斷動點N的軌跡，設P（m，n），則根據平面幾何知識得到|

PQ

|=|

PR

|，及cos＜

PQ

，

PR

＞，從而根據平面向量數量積的定義及均值不等式得

PQ

•

PR

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因為M是橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點，
△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為8

2

，
所以 4a=8

2

，

1

2

•b•2c=4，
∴

bc=4 b2+c2=8

∴b=c=2，a=2

2

，
所以，所求的橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設N（x，y），則由（Ⅰ）得F₁（-2，0），F₂（2，0），所以G(

x

3

，

y

3

)，
從而

GF2

=(2-

x

3

，-

y

3

)，

ON

=(x，y)．因為

GF2

•

ON

=0，
所以有(2-

x

3

，-

y

3

)•(x，y)=(2-

x

3

)x+(-

y

3

)y=0，即x2+y2-6x=0，
由于G是△NF₁F₂的重心，即N，F₁，F₂應當是一個三角形的三個頂點，
因此所求動點N的軌跡方程為x²+y²-6x=0（y≠0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知動點N的軌跡方程為x²+y²-6x=0（y≠0），
即（x-3）²+y²=9（y≠0）．
顯然此軌跡是以點C（3，0））為圓心，半徑r=3的圓
除去兩點（0，0），（6，0）剩余部分的部分曲線．
設P（m，n），則根據平面幾何知識得|

PQ

|=|

PR

|=

| PC |2-r2

=

(m-3)2+n2-9

，
cos＜

PQ

，

PR

＞=cos2∠QPC=1-2sin²∠QPC=1-2•（

r

| PC |

）²=1-

18

(m-3)2+n2

，
從而根據平面向量數量積的定義及均值不等式得：

PQ

•

PR

=|

PQ

|•|

PR

|•cos＜

PQ

，

PR

＞=[（m-3）²+n²-9]•[1-

18

(m-3)2+n2

]
=[（m-3）²+n²]+

162

(m-3)2+n2

-27≥2

162

-27=18

2

-27．
當且僅當(m-3)2+n2=9

2

時，取“=”（※） 
由點P（m，n）在橢圓

x2

8

+

y2

4

=1上（非短軸端點），并且在圓（x-3）²+y²=9外，
可知3＜|

PC

|≤3+2

2

但|

PC

|≠|

MC

|=

13

⇒(m-3)2+n2∈(9，13)∪(13，17+12

2

]
由于9

2

∈(9，13)，所以條件（※）的要求滿足．
因此

PQ

•

PR

的最小值為18

2

-27．

點評：本題考查橢圓的定義、方程和性質，考查軌跡方程的求法，考查平面向量的數量積的定義和性質，考查直線和圓的位置關系，屬于中檔題．