Question

（2013•臨沂三模）某市統(tǒng)計(jì)局就本地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在[1000，1500），單位：元）．
（Ⅰ）估計(jì)居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（Ⅲ）若將頻率視為概率，從本地隨機(jī)抽取3位居民（看做有放回的抽樣），求月收入在[1500，2000）的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)直方圖，可得居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖知，中位數(shù)在[2000，2500），由此可算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（Ⅲ）由題意知，X～B（3，0.3），求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意，居民月收入在[1500，2000）的概率約為1-（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，中位數(shù)在[2000，2500），
設(shè)中位數(shù)為x，則0.0002×500+0.2+0.0005（x-2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率為0.0002×500+0.2=0.3，
由題意知，X～B（3，0.3），
因此P(x=0)=

C

0 3

×0.73=0.343，P(x=1)=

C

1 3

×0.72×0.3=0.441，P(x=2)=

C

2 3

×0.7×0.32=0.189，P(x=3)=

C

3 3

×0.33=0.027．
故隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

X的數(shù)學(xué)期望為3×0.3=0.9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖，考查中位數(shù)的計(jì)算，考查隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．