Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足條件：f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x
（1）求f（x）；
（2）若直線y=a與函數(shù)y=f（|x|）有4個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，由f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x即可確定f（x）．
（2）作出函數(shù)y=f（|x|）的圖象，利用圖象確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
∵f（0）=1，∴f（0）=c=1，解得c=1，
∴f（x）=ax²+bx+1，（a≠0），
∵f（x+1）=f（x）+2x
∴a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1+2x，
即ax²+2ax+1+bx+b+1=ax²+bx+1+2x，
∴2a=2，b+1=0，解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）y=f（|x|）=x²-|x|+1=

x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0

，
作出函數(shù)y=f（|x|）的圖象如圖：
當(dāng)x=0時(shí)，y=f（0）=1，
當(dāng)x＞時(shí)，y=x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)y有最小值，
∴要使直線y=a與函數(shù)y=f（|x|）有4個(gè)交點(diǎn)，
則

3

4

＜a＜1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

3

4

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及利用數(shù)形結(jié)合的方法求函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)．