Question

已知函數(shù)f（x）=-

x2

2

+x在區(qū)間[m，n]上的值域是[3m，3n]，則m-n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)m和n的范圍進(jìn)行分類討論，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性表示出函數(shù)的最大值和最小值建立等式求得m和n．

解答： 解：①當(dāng)m＜n≤1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)增，
則

f(m)=- m2 2 +m=3m f(n)=- n2 2 +n=3n

，求得m=-4，n=0．
②當(dāng)1＜m＜n時(shí)，
f（x）在[m，n]上遞減，且f（x）＜

1

2

值域?yàn)閇3m，3n]，
  3n＜

1

2

，矛盾
③m≤1＜n時(shí)，
f（x）_max=

1

2

，
若值域?yàn)閇3m，3n]，
 則3n=

1

2

，n=

1

6

與n＞1矛盾
綜上，符合條件的m，n的值為
m=-4，n=0，
∴m-n=-4，
故答案為：-4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的運(yùn)用．應(yīng)能熟練掌握二次函數(shù)求最值的方法．