Question

某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產能力將逐年下降．若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500（1+

1

2n

）萬元（n為正整數）．
（Ⅰ）設從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為A_n萬元，進行技術改造后的累計純利潤為B_n萬元（須扣除技術改造資金），求A_n、B_n的表達式；
（Ⅱ）依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題設，A_n=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n），B_n=500[（1+

1

2

）+（1+

1

22

）+…+（1+

1

2n

）]-600．由此能夠導出A_n、B_n的表達式．
（Ⅱ）由題意知B_n-A_n=（500n-

500

2n

-100）-（490n-10n²）=10n²+10n-

500

2n

-100=10[n（n+1）-

50

2n

-10]．再由函數的單調性可知至少經過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤．

解答：解：（Ⅰ）依題設，A_n=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n）=490n-10n²；
B_n=500[（1+

1

2

）+（1+

1

22

）+…+（1+

1

2n

）]-600=500n-

500

2n

-100．
（Ⅱ）B_n-A_n=（500n-

500

2n

-100）-（490n-10n²）
=10n²+10n-

500

2n

-100=10[n（n+1）-

50

2n

-10]．
因為函數y=x（x+1）-

50

2n

-10在（

1

2

，+∞）上為增函數，
當1≤n≤3時，n（n+1）-

50

2n

-10≤12-

50

8

-10＜0；
當n≥4時，n（n+1）-

50

2n

-10≥20-

50

16

-10＞0．
∴僅當n≥4時，B_n＞A_n．
答：至少經過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤．

點評：本題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式的等基礎知識，考查運用數學知識解決實際問題的能力．