Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=an-1(a≠0)，那么數(shù)列{a_n}（　　）

A．一定是等比數(shù)列

B．一定是等差數(shù)列

C．是等差數(shù)列或等比數(shù)列

D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

Answer 1

分析：由題意可知，當a=1時，S_n=0，判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列；當a≠1時，利用

an

an-1

=

an-an-1

an-1-an-2

=a，判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列．

解答：解：①當a=1時，S_n=0，
且a₁=a-1=0，
a_n=S_n-S_n-1=（aⁿ-1）-（a^n-1-1）=0，（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（a^n-1-1）-（a^n-2-1）=0，
∴a_n-a_n-1=0，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
②當a≠1時，
a₁=a-1，
a_n=S_n-S_n-1=（aⁿ-1）-（a^n-1-1）=aⁿ-a^n-1，（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（a^n-1-1）-（a^n-2-1）=a^n-1-a^n-2，（n＞2）

an

an-1

=

an-an-1

an-1-an-2

=a，（n＞2）
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
綜上所述，數(shù)列{a_n}或是等差數(shù)列或是等比數(shù)列．
故選C．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列等差數(shù)列的判定，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．