Question

如圖，五面體A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC是正三角形，AB=2．四邊形BCC₁B₁是矩形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁
（I）求這個幾何體的體積；
（Ⅱ）D在AC上運動，問：當D在何處時，有AB₁∥平面BDC₁，請說明理由；
（III）求二面角B₁-AC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中平面ABC⊥平面BCC₁B₁，我們易得五面體A-BCC₁B₁（四棱錐）的底面為BCC₁B₁，高是正三角形ABC的高，分別求出棱錐的底面面積和高，代入即可得到這個幾何體的體積；
（Ⅱ）當D為AC中點時，連接B₁C交BC₁于O，連接DO，易根據三角形的中位線定理，證得DO∥AB₁，進而根據線面平行的判定定理得到AB₁∥平面BDC₁．
（III）建立空間直角坐標系B-xyz如圖所示，分別求出平面B₁AC₁與AC₁C的一個法向量的坐標，代入向量夾角公式，即可求出二面角B₁-AC₁-C的余弦值．

解答：解：（I）顯然這個五面體是四棱錐A-BCC₁B₁，
因為側面BCC₁B₁垂直于底面ABC，
所以正三角形ABC的高h=

3

就是這個四棱錐A-BCC₁B₁的高，
又AB₁=4，AB=2，所以BB1=2

3

．
于是 V四棱錐A-BCC1B1=

1

3

S矩形_BCC1B_
=

1

3

×2

3

×2×

3

=4．…（4分）
（Ⅱ）當D為AC中點時，有AB₁∥平面BDC₁．
證明：連接B₁C交BC₁于O，連接DO，
∵四邊形BCC₁B₁是矩形∴O為B₁C中點，
∵AB₁∥平面BDC₁，且AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁
∴DO∥AB₁，∴D為AC的中點．…（8分）
（III）建立空間直角坐標系B-xyz如圖所示，
則A(

3

，1，0)，C（0，2，0），C1(0，2，2

3

)，B1(0，0，2

3

)，
所以

AB1

=(-

3

，-1，2

3

)，

B1C

1=(0，2，0)，

AC

=(-

3

，1，0)，

CC

1=(0，0，2

3

)，
設

n1

=(x，y，z)為平面B₁AC₁的法向量，
則有

B1C1 • n1 =2y=0 AB1 • n1 =- 3 x-y+2 3 z=0

，令z=1，可得平面B₁AC₁的一個法向量為

n1

=(2，0，1)，
設

n2

=(x，y，z)為平面ACC₁的法向量，則有

C1C1 • n2 =2 3 z=0 AC • n2 =- 3 x+y=0

，
令x=-1，可得平面ACC₁的法向量

n2

=(-1，-

3

，0)，
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

-2

5 ×2

=-

5

5

，
所以二面角B₁-AC₁-C的余弦值為-

5

5

…（12分）
注：本題也可以不建立坐標系，解法從略，請按三小題分值給分

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，其中（I）的關鍵是判斷出五面體A-BCC₁B₁的底面及高，（II）的關鍵是證得DO∥AB₁，（III）的關鍵是建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題．