如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB＝90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC＝1，BC＝2PM＝2，∠ACB＝90°

(Ⅰ)求證：AC⊥BM；

(Ⅱ)求二面角M－AB－C的正切值；

(Ⅲ)求多面體P－MABC的體積．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵平面平面，，平面．

　　∴平面　　(2分)

　　又∵平面

　　∴　　(4分)

　　(Ⅱ)取的中點，則．連接、．

　　∵平面平面，平面平面，．

　　∴平面．

　　∵，∴，從而平面．

　　作于，連結，則由三垂線定理知．

　　從而為二面角的平面角．　　(6分)

　　∵直線與直線所成的角為60°，

　　∴．

　　在中，由勾股定理得．

　　在中，．

　　在中，．

　　在中，

　　故二面角的大小為　　(8分)

　　(Ⅱ)如圖以為原點建立空間直角坐標系．

　　　　　設，有，，．

　　，

　　由直線與直線所成的角為60°，得

　　

　　即，解得．

　　∴，

　　設平面的一個法向量為，則

　　由，取，得

　　取平面的一個法向量為

　　則

　　由圖知二面角為銳二面角，

　　故二面角的大小為．

　　(Ⅲ)多面體就是四棱錐

　　　　(12分)


練習冊系列答案
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（Ⅰ）求證：AC⊥BM；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大��；
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（3）求二面角M-AC-B的大�。�

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（Ⅰ）求證：AC⊥BM；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大��；
（Ⅲ）求多面體PMABC的體積．

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