Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-mx．
（1）若m=3，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若m=1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函數(shù)f（x）的圖象上，且x₁＜x₂＜x₃，a、b、c分別為△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊．求證：a²+c²＜b²．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極小值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式求最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）由（2）知，當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，利用=（x₁-x₂，y₁-y₂），=（x₃-x₂，y₃-y₂），求得＜0，從而可得∠ABC為鈍角，利用余弦定理可得結(jié)論．
解答：（1）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），若m=3，則f（x）=lnx+x²-3x
∴f′（x）=
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，
∵x＞0，∴＜x＜1
∴x=1時(shí)，函數(shù)有極小值為f（1）=-2；
（2）解：求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=
∵函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∴f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立
∴2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立
∴在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)）
∴m≤2
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，2]；
（3）證明：由（2）知，當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函數(shù)f（x）的圖象上，且x₁＜x₂＜x₃，
∴y₁＜y₂＜y₃，
∴=（x₁-x₂，y₁-y₂），=（x₃-x₂，y₃-y₂），
∴x₁＜x₂＜x₃，y₁＜y₂＜y₃，
∴＜0
∴cos=＜0
∴∠ABC為鈍角
∴＜0
∴a²+c²＜b²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．