Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．
（Ⅰ）試判斷F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜b時(shí)，求證：f（b）-f（a）＞

2a(b-a)

a2+b2

．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知求出F（x）的解析式及其導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可判斷出函數(shù)的單調(diào)性；
（II）結(jié)合（I）中函數(shù)的單調(diào)性，可得，（x²+1）lnx-（2x-2）＞0，即lnx＞

2x-2

x2+1

，當(dāng)0＜a＜b時(shí)，令x=

b

a

，代入可得結(jié)論．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．
F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）=（x²+1）lnx-（2x-2）的定義域?yàn)閇1，+∞）
∴F′（x）=2xlnx+

x2+1

x

-2=2xlnx+

(x-1)2

x

當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0恒成立
故函數(shù)F（x）=（x²+1）lnx-（2x-2）在定義域[1，+∞）上為增函數(shù)
（II）由（1）知，當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（1）=0
即當(dāng)x＞1時(shí)，（x²+1）lnx-（2x-2）＞0

∴

lnx＞

2x-2

x2+1

…①
令x=

b

a

，當(dāng)0＜a＜b時(shí)，

b

a

＞1
由①可得ln

b

a

=lnb-lna＞

2× b a -2

( b a )2+1

=

2a(b-a)

a2+b2

∴當(dāng)0＜a＜b時(shí)，f（b）-f（a）＞

2a(b-a)

a2+b2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)性的步驟，（II）的關(guān)鍵是得到lnx＞

2x-2

x2+1

．