Question

3．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=a-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，極軸與x軸的非負半軸重合）中，圓C的方程為ρ=4cosθ．若直線l被圓C截得的弦長為$\sqrt{11}$，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 把參數(shù)方程與極坐標方程分別化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，利用弦長公式即可得出．

解答 解：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=a-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t可得：直線的直角坐標系方程是：2x+y-a-2=0，
圓C的方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
直角坐標系方程是：x²+y²=4x，配方為（x-2）²+y²=4，可得圓心（2，0），半徑r=2．
設圓心到直線l的距離為d，d=$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{11}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
又d=$\frac{|4-a-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2-a|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴a=2$±\frac{5}{2}$，∴a=$\frac{9}{2}$，或$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．